作者丨HeptaAI@知乎（已授权）

来源丨https://zhuanlan.zhihu.com/p/563543020

编辑丨极市平台

泻药。实验室最近人人都在做扩散，从连续到离散，从 CV 到 NLP，基本上都被 diffusion 洗了一遍。但是观察发现，里面的数学基础并不是模型应用的必须。其实大部分的研究者都不需要理解扩散模型的数学本质，更需要的是对扩散模型的原理的经验化理解，从而应用到 research 里面去。笔者做 VAE 和 diffussion 也有一段时间了，就在这里通俗地解释一下 diffusion 的来龙去脉。

Variational AutoEncoder (VAE)

要讲扩散模型，不得不提 VAE。VAE 和 GAN 一样，都是从隐变量 生成目标数据 。它们假设隐变量服从某种常见的概率分布（比如正态分布），然后希望训练一个模型 ，这个模型将原来的概率分布映射到训练集的概率分布，也就是分布的变换。注意，VAE 和 GAN 的本质都是概率分布的映射。大致思路如下图所示：

图片来源：

换句话说，大致意思就是先用某种分布随机生成一组隐变量，然后这个隐变量会经过一个生成器生成一组目标数据。VAE 和 GAN 都希望这组数据的分布 和目标分布 尽量接近。

是不是听上去很 work？但是这种方法本质上是难以 work 的，因为“尽量接近”并没有一个确定的关于 XXX 和 X^\hat{X}\hat{X} 的相似度的评判标准。换句话说，这种方法的难度就在于，必须去猜测“它们的分布相等吗”这个问题，而缺少真正 interpretable 的价值判断。有聪明的同学会问，KL 散度不就够了吗？不行，因为 KL 散度是针对两个已知的概率分布求相似度的，而 和 XXX 的概率分布目前都是未知。

GAN 的做法就是直接把这个度量标准也学过来就行，相当生猛。但是这样做的问题在于依然不 interpretable，非常不优雅。VAE 的做法就优雅很多了，我们先来看 VAE 是怎么做的，理解了 VAE 以后再去理解 Diffussion 就很自然了。

到底什么是生成模型？

我们看回生成模型到底是个啥。我们拿到一批 sample（称为 ), 想要用 学到它的分布 , 这样就能同时学到没被 sample 到的数据了, 用这个分布 就能随意采样, 然后获得 生成结果。但是这个分布九曲回肠, 根本不可能直接获得。所以绕个弯, 整一个隐变量 , 这东西可以生成 。不妨假设 满足正态分布, 那就可以先从正态分布里面随便取一个 , 然后用 和 的关系算出 。这里不得不用一下数学公式, 因为后面一直要用到（其实也很简单, 学过概率学基础一下就看得懂) :

换句话说, 就是不直接求 , 而是造一个别的变量（好听的名字叫“隐变量”），获得这个隐变量和我要搞的 的关系, 也能搞到 。注意, 上式中, 称为后验分布, 称为先验分布。

VAE 的核心

VAE 的核心就是, 我们不仅假设 是正态分布, 而且假设每个 也是正态分布。 什么意思呢? 因为 是一组采样，其实可以表示成 , 而我们想要针对每个 获得一个专属于它和 的一个正态分布。换句话说, 有 个 sample, 就有 个正态分布 。其实也很好理解, 每一个采样点当然都需要一个相对 的分布, 因为没有任何两个采样点是完全一致的。

那现在就要想方设法获得这 个正态分布了。怎么搞? 学！拟合！但是要注意, 这里的拟合与 不同, 本质上是在学习 和 的关系, 而非学习比较 与 的标准。

OK, 现在问一个小学二年级就知道的问题, 已知是正态分布, 学什么才能确定这个正态分布? 没错, 均值和方差。怎么学? 有数据啊! 不是你自己假设的吗, 是已知的啊, 那你就用这俩去学个均值和方差。

好, 现在我们已经学到了这 个正态分布。那就好说了, 直接从 里面采样一个 , 学 一个 generator，就能获得 了。那接下来只需要最小化方差 就行。来看看下面的图, 仔细理解一下:

仔细理解的时候有没有发现一个问题? 为什么在文章最开头, 我们强调了没法直接比较 和 的分布, 而在这里, 我们认为可以直接比较这俩? 注意, 这里的 是专属于 (针对于) 的隐变量, 那么和 本身就有对应关系，因此右边的蓝色方框内的“生成器”, 是一一对应的生成。

另外，大家可以看到，均值和方差的计算本质上都是 encoder。也就是说，VAE 其实利用了两个 encoder 去分别学习均值和方差。

VAE 的 Variational 到底是个啥

这里还有一个非常重要的问题 (对于初学者而言可能会比较困难, 需要反复思考) : 由于我们通过最小化 来训练右边的生成器, 最终模型会逐渐使得 和 趋于一致。但是注 意, 因为 是重新随机采样过的, 而不是直接通过均值和方差 encoder 学出来的, 这个生成器的输入 是有噪声的。但是仔细思考一下, 这个噪声的大小其实就用方差来度量。为了使得分布的学习尽量接近, 我们希望噪声越小越好, 所以我们会尽量使得方差趋于 0。

但是方差不能为 0 , 因为我们还想要给模型一些训练难度。如果方差为 0 , 模型永远只需要学习高斯分布的均值, 这样就丟失了随机性, VAE 就变成 AE 了…… 这就是为什么 VAE 要在 AE 前面加一个 Variational：我们希望方差能够持续存在, 从而带来噪声! 那如何解决这个问题呢? 其实保证有方差就行, 但是 VAE 给出了一个优雅的答案: 不仅需要保证有方差, 还要让所有 趋于标准正态分布 ！为什么要这么做呢? 这里又需要一个小小的数学推导:

这条式子大家想必都看得懂, 看不懂也没事……关键是结论: 如果所有 都趋于 , 那么我们可以保证 也趋于 , 从而实现先验的假设, 这样就形成了一个闭环! 太优雅了! 那怎么让所有 趋于 呢? 加 loss 呗, 具体的 loss 推导这里就不做深入了, 用到了很多数学知识, 又要被公式淹没了。到此为止, 我们可以把 VAE 进一步画成:

VAE 的本质

现在我们来回顾一下 VAE 到底做了啥。VAE 在 AE 的基础上对均值的 encoder 添加高斯噪声（正态分布的随机采样），使得 decoder（就是右边那个生成器）有噪声鲁棒性；为了防止噪声消失，将所有 趋近于标准正态分布，将 encoder 的均值尽量降为 0，而将方差尽量保持住。这样一来，当 decoder 训练的不好的时候，整个体系就可以降低噪声；当 decoder 逐渐拟合的时候，就会增加噪声。

本质上，是不是和 GAN 很像？！要我命名，我也可以叫 VAE 是生成对抗 encoder（手动滑稽

Diffusion Model（扩散模型，DM）

好了，到此为止，你已经理解了扩散模型的所有基础。现在我们来站在 VAE 的基础上讲讲扩散模型。目前的教程实在是太数学了，其实可以用更加通俗的语言讲清楚。从本质上说，Diffusion 就是 VAE 的升级版。

VAE 有一个做了好几年的核心问题。大家思考一下, 上面的 VAE 中, 变分后验 是怎么获得的? 是学出来的! 用 当 loss, 去学这个 。学这个变分后验就有五花八门的方法了, 除了上面说的拟合法, 还有用纯数学来做的, 甚至有用 BERT 这种 PLM 来做的。但是无论如何都逃不出这个 VAE 的框架：必须想办法设计一个生成器 , 使得变分后验分布 尽量真实。这种方法的问题在于, 这个变分后验 的表达能力与计算代价是不可兼得的。 换句话说, 简单的变分后验表达并不丰富（例如数学公式法）, 而复杂的变分后验计算过于复杂（例如 PLM 法）。

现在回过头来看看 GAN 做了啥。前面也提到过，GAN 其实就是简单粗暴，没有任何 encoder，直接训练生成器，唯一的难度在于判别器（就是下图这个“它们的分布相等吗”的东西）不好做。

好了，聪明的你也已经知道我要说什么了。Diffusion 本质就是借鉴了 GAN 这种训练目标单一的思路和 VAE 这种不需要判别器的隐变量变分的思路，糅合一下，发现还真 work 了……下面让我们来看看到底是怎么糅合的。为什么我们糅合甚至还没传统方法好，大佬糅合揉出个 diffusion？

Diffusion 的核心

知道你们都懒得划上去，我再放一下 VAE 的图。

前面也已经提到，VAE 的最大问题是这个变分后验。在 VAE 中，我们先定义了右边蓝色的生成器 ，再学一个变分后验 来适配这个生成器。能不能反一下，先定义一个变分后验再学一个生成器呢？

如果你仔细看了上面的 VAE 部分，我相信你已经有思路了。VAE 的生成器，是将标准高斯映射到数据样本（自己定义的）。VAE 的后验分布，是将数据样本映射到标准高斯（学出来的）。那反过来，我想要设计一种方法 A，使得 A 用一种简单的“变分后验”将数据样本映射到标准高斯（自己定义的），并且使得 A 的生成器，将标准高斯映射到数据样本（学出来的）。注意，因为生成器的搜索空间大于变分后验，VAE 的效率远不及 A 方法：因为 A 方法是学一个生成器（搜索空间大），所以可以直接模仿这个“变分后验”的每一小步！

好，现在我告诉你，这个 A 方法就是扩散模型（Diffusion Model）的核心思路：定义一个类似于“变分后验”的从数据样本到高斯分布的映射，然后学一个生成器，这个生成器模仿我们定义的这个映射的每一小步。

Diffusion Model 的 Diffusion 到底是个啥

接触 diffusion 的你肯定知道马尔可夫链！这东西不仅 diffusion 里面有，各种怪异的算法里面也都出现了。为什么用它？因为它的一个关键性质：平稳性。一个概率分布如果随时间变化，那么在马尔可夫链的作用下，它一定会趋于某种平稳分布（例如高斯分布）。只要终止时间足够长，概率分布就会趋近于这个平稳分布。

这个逐渐逼近的过程被作者称为前向过程（forward process）。注意，这个过程的本质还是加噪声！ 试想一下为什么……其实和 VAE 非常相似，都是在随机采样！马尔可夫链每一步的转移概率，本质上都是在加噪声。这就是扩散模型中“扩散”的由来：噪声在马尔可夫链演化的过程中，逐渐进入 diffusion 体系。随着时间的推移，加入的噪声（加入的溶质）越来越少，而体系中的噪声（这个时刻前的所有溶质）逐渐在 diffussion 体系中扩散，直至均匀。看看下面的图，你应该就恍然大悟了：

现在想想，为什么要用马尔可夫链。我们把问题详细地重述一下：为什么我们创造一个稳定分布为高斯分布的马尔可夫链，对于生成器模仿我们定义的某个映射的每一小步有帮助呢？这里你肯定想不出来，不然你也能发明 diffusion model ——答案是，基于马尔可夫链的前向过程，其每一个 epoch 的逆过程都可以近似为高斯分布。

懵了吧，我也懵了。真正的推导发了好几篇 paper，都是些数学巨佬的工作，不得不感叹基础科学的力量……相关工作主要用的是 SDE（随机微分方程），我们在这里不做深入，但是需要理解大致的思路，如下图所示。

图源：

下面的是前向过程，上面的是反向过程。前向过程通过马尔可夫链的转移概率不断加入噪音，从右边的采样数据到左边的标准高斯；反向过程通过 SDE 来“抄袭”对应正向过程的那一个 epoch 的行为（其实每一步都不过是一个高斯分布），从而逐渐学习到对抗噪声的能力。高斯分布是一种很简单的分布，运算量小，这一点是 diffusion 快的最重要原因。

Diffusion 的本质

现在回头看看 diffusion 到底做了个啥工作。我们着重看一下下图的 VAE 和 diffussion 的区别：

图源：

可以很清晰的认识到，VAE 本质是一个基于梯度的 encoder-decoder 架构，encoder 用来学高斯分布的均值和方差，decoder 用变分后验来学习生成能力，而将标准高斯映射到数据样本是自己定义的。而扩散模型本质是一个 SDE/Markov 架构，虽然也借鉴了神经网络的前向传播/反向传播概念，但是并不基于可微的梯度，属于数学层面上的创新。两者都定义了高斯分布 作为隐变量，但是 VAE 将 作为先验条件（变分先验），而 diffusion 将 作为类似于变分后验的马尔可夫链的平稳分布。

想要更深入的理解？

如评论区指出的，文章的定位本身就是让读者读懂 diffusion 而非对 diffusion 框架本身进行数学创新，是应用向而非结构向的，大佬们如果希望看到更深入的分析可以追更和评论区催更～

参考资料

https://zhuanlan.zhihu.com/p/34998569

https://www.zhihu.com/question/536012286/answer/2533146567

https://zhuanlan.zhihu.com/p/52